118. 杨辉三角

杨辉三角

题目

给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows行。

杨辉三角

在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例:

输入: 5
输出:
[
     [1],
    [1,1],
   [1,2,1],
  [1,3,3,1],
 [1,4,6,4,1]
]

题解

动态规划

思路

如果能够知道一行杨辉三角，我们就可以根据每对相邻的值轻松地计算出它的下一行。

算法

虽然这一算法非常简单，但用于构造杨辉三角的迭代方法可以归类为动态规划，因为我们需要基于前一行来构造每一行。

首先，我们会生成整个 triangle 列表，三角形的每一行都以子列表的形式存储。然后，我们会检查行数为 0 的特殊情况，否则我们会返回 [1]。如果 numRows > 0，那么我们用 [1] 作为第一行来初始化 triangle with [1]，并按如下方式继续填充：

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> triangle = new ArrayList<List<Integer>>();

        // First base case; if user requests zero rows, they get zero rows.
        if (numRows == 0) {
            return triangle;
        }

        // Second base case; first row is always [1].
        triangle.add(new ArrayList<>());
        triangle.get(0).add(1);

        for (int rowNum = 1; rowNum < numRows; rowNum++) {
            List<Integer> row = new ArrayList<>();
            List<Integer> prevRow = triangle.get(rowNum-1);

            // The first row element is always 1.
            row.add(1);

            // Each triangle element (other than the first and last of each row)
            // is equal to the sum of the elements above-and-to-the-left and
            // above-and-to-the-right.
            for (int j = 1; j < rowNum; j++) {
                row.add(prevRow.get(j-1) + prevRow.get(j));
            }

            // The last row element is always 1.
            row.add(1);

            triangle.add(row);
        }

        return triangle;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： O(numRows²)

虽然更新 triangle 中的每个值都是在常量时间内发生的，
但它会被执行 O(numRows²) 次。想要了解原因，就需要考虑总共有多少次循环迭代。很明显外层循环需要运行 numRows 次，但在外层循环的每次迭代中，内层循环要运行 rowNumrowNum 次。因此，triangle 发生的更新总数为
1 + 2 + 3 + ... + *numRows*，根据高斯公式有

空间复杂度：O(numRows²)

因为我们需要存储我们在 triangle 中更新的每个数字，
所以空间需求与时间复杂度相同。

Python解法

class Solution:
    def generate(self, num_rows):
        triangle = []

        for row_num in range(num_rows):
            # The first and last row elements are always 1.
            row = [None for _ in range(row_num+1)]
            row[0], row[-1] = 1, 1

            # Each triangle element is equal to the sum of the elements
            # above-and-to-the-left and above-and-to-the-right.
            for j in range(1, len(row)-1):
                row[j] = triangle[row_num-1][j-1] + triangle[row_num-1][j]

            triangle.append(row)

        return triangle

递归解法

通过numRows-1，求numRows行，递归求解

class Solution {
    List<List<Integer>> listw = new ArrayList<List<Integer>>();

    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<Integer> listn = new ArrayList<Integer>();
        if (numRows == 0)
            return listw;
        generate(numRows - 1);
        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            if (i == 0) {
                listn.add(1);
                continue;
            } else if (i == numRows - 1) {
                listn.add(1);
                continue;
            } else if (i == numRows - 2) {
                listn.add(listw.get(numRows - 2).get(i - 1) + 1);
                continue;
            } else {
                listn.add(listw.get(numRows - 2).get(i - 1) + listw.get(numRows - 2).get(i));
            }
        }
        listw.add(listn);
        return listw;
    }
}