判断素数

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素数

  • 质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
  • 0和1既不是质数也不是合数,最小的质数是2
  1. 最直观,但效率最低的写法

这里特殊处理了一下小于等于3的数,因为小于等于3的自然数只有2和3是质数。

然后,我们只需要从2开始,一直到小于其自身,依次判断能否被n整除即可,能够整除则不是质数,否则是质数。

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public static boolean isPrime(int n){
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
for(int i = 2; i < n; i++){
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
  1. 优化

我们继续分析,其实质数还有一个特点,就是它总是等于 6x-1 或者 6x+1,其中 x 是大于等于1的自然数。

如何论证这个结论呢,其实不难。首先 6x 肯定不是质数,因为它能被 6 整除;其次 6x+2 肯定也不是质数,因为它还能被2整除;依次类推,6x+3 肯定能被 3 整除;6x+4 肯定能被 2 整除。那么,就只有 6x+1 和 6x+5 (即等同于6x-1) 可能是质数了。所以循环的步长可以设为 6,然后每次只判断 6 两侧的数即可。

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public static boolean isPrime(int num) {
if (num <= 3) {
return num > 1;
}
// 不在6的倍数两侧的一定不是质数
if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) {
return false;
}
int sqrt = (int) Math.sqrt(num);
for (int i = 5; i <= sqrt; i += 6) {
if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
  1. 性能对比
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import java.util.*;

public class Main {

public static void main(String[] args) {
// Scanner in = new Scanner(System.in);
// int n = in.nextInt();
// in.close();
Stack<Integer> a = new Stack<>(), b = new Stack<>();
int n = 100000;
long s = System.currentTimeMillis(), e;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (f(i))
a.push(i);
}
e = System.currentTimeMillis();
System.out.println(e - s + " ms");
s = System.currentTimeMillis();
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (func(i))
b.push(i);
}
e = System.currentTimeMillis();
System.out.println(e - s + " ms");
System.gc();
}

static boolean f(int n) {
if (n <= 3)
return n > 1;
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}

static boolean func(int n) {
if (n <= 3)
return n > 1;
if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5) {
return false;
}
int tem = (int) Math.sqrt(n);
for (int i = 5; i <= tem; i += 6) {
if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0)
return false;
}
return true;
}
}
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